Question

6．如圖，將一張邊長(zhǎng)為1的正方形紙ABCD折疊，使得點(diǎn)B始終落在邊AD上，則折起部分面積的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先證明△MQB∽△B′AB，再利用相似三角形的性質(zhì)得出C'N的長(zhǎng)，再表示出求出梯形MNC′B′面積，進(jìn)而求出最小值．

解答 解：如圖，過(guò)N作NR⊥AB與R，則RN=BC=1，
連BB′，交MN于Q．則由折疊知，
△MBQ與△MB′Q關(guān)于直線(xiàn)MN對(duì)稱(chēng)，即△MBQ≌△MB′Q，
有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．
∵∠A=∠MQB，∠ABQ=∠ABB′，
∴△MQB∽△B′AB，
∴$\frac{AB′}{MQ}=\frac{AB}{BQ}=\frac{BB′}{MB}$．
設(shè)AB′=x，則BB′=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，BQ=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{x}^{2}}$，代入上式得：
BM=B'M=$\frac{1}{2}$（1+x²）．
∵∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，
∴∠MNR=∠ABB′，
在Rt△MRN和Rt△B′AB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠MNR=∠ABB′}\\{RN=AB}\\{∠A=∠NRM=90°}\end{array}\right.$，
∴Rt△MRN≌Rt△B′AB（ASA），
∴MR=AB′=x．
故C'N=CN=BR=MB-MR=$\frac{1}{2}$（1+x²）-x=$\frac{1}{2}$（x-1）²．
∴S_{梯形MNC′B′}=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$（x²+1）]×1=$\frac{1}{2}$（x²-x+1）=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{8}$，
得當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，梯形面積最小，其最小值$\frac{3}{8}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值、全等三角形的判定和性質(zhì)及翻轉(zhuǎn)變換，是一道綜合題，有一定的難度，這要求學(xué)生要熟練掌握各部分知識(shí)，才能順利解答這類(lèi)題目．