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已知向量
a
=（1-tanx，1），
b
=（1+sin2x+cos2x，-3），記f（x）=
a
•
b

（1）求f（x）的值域及最小正周期；
（2）若f(
α
2
)-f(
α
2
+
π
4
)=
6
，其中α∈(0， 
π
2
)，求角α．
分析：（1）先利用向量的數量積的坐標運算求得函數的解析式，并化簡，即可求得其值域及其最小正周期．
（2）由f(
α
2
)-f(
α
2
+
π
4
)=
6
，利用兩角和的正弦公式化簡，得sin(α+
π
4
)=
3
2
，結合α的范圍，解得角α的值．
解答：解：（1）根據條件可知：
f（x）=（1-tanx）•（1+sin2x+cos2x）-3=
cosx-sinx
cosx
(2cos2x+2sinxcosx)-3=2（cos2x-sin2x）-3=2cos2x-3
因為f（x）的定義域為{x|x≠kπ+
π
2
， k∈Z}，
∴-1＜cos2x≤1∴-5＜2cos2x-3≤-1
∴f（x）的值域為（-5，-1]，f（x）的最小正周期為π．

（2）f(
α
2
)-f(
α
2
+
π
4
)=2cosα-2cos(α+
π
2
)=2(cosα+sinα)=2
2
sin(α+
π
4
)=
6
．
所以，sin(α+
π
4
)=
3
2
，又因為α∈(0， 
π
2
)，所以α+
π
4
=
π
3
或α+
π
4
=
2π
3
，
所以α=
π
12
或α=
5π
12
．
點評：本題考查余弦函數的單調性，向量的數量積運算，以及三角函數的化簡求值，在求函數的值域時注意函數的定義域，是個中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，已知向量
a
=（-1，2），又點A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）(0≤θ≤
π
2
)．
（1）若
AB
⊥
a
，且|
AB
|=
5
|
OA
|(O為坐標原點），求向量
OB
；
（2）若向量
AC
與向量
a
共線，當k＞4，且tsinθ取最大值4時，求
OA
•
OC
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量 
a
=（1，2），
b
=（cosα，sinα），設
m
=
a
+t
b
（t為實數）．
（1）若α=
π
4
，求當|
m
|取最小值時實數t的值；
（2）若
a
⊥
b
，問：是否存在實數t，使得向量
a
-
b
和向量
m
的夾角為
π
4
，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（3）若
a
⊥
m
，求實數t的取值范圍A，并判斷當t∈A時函數f（t）=（t，-3）•（t2，t）的單調性．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（-1，2），
b
=（1，1），t∈R．
（I）求＜
a
，
b
＞；  （II）求|
a
+t
b
|的最小值及相應的t值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2=2，坐標原點為O．圓C上任意一點A在x軸上的射影為點B，已知向量
OQ
=t
OA
+(1-t)
OB
(t∈R，t≠0)．
（1）求動點Q的軌跡E的方程；
（2）當t=
2
2
時，過點S（0，-
1
3
）的動直線l交軌跡E于A，B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過T點？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（1，2），
b
=(cosα，sinα)，設
m
=
a
+t
b
（t為實數）．
（1）若
a
與
b
共線，求tanα的值；
（2）若α=
π
4
，求當|
m
|取最小值時實數t的值．

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