Question

8．如圖所示，兩射線OA與OB交于O，則下列選項(xiàng)中哪些向量的終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）
①$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$； ②$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$  ③$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$  ④$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{OB}$．

• A． ①②
• B． ①②④
• C． ①②③
• D． ③④

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量基本定理，可得到得$\overrightarrow{ON}$=t$\overrightarrow{OA}$+（1-t）$\overrightarrow{OB}$，由M在陰影區(qū)域內(nèi)可得實(shí)數(shù)r≥1，從而$\overrightarrow{OM}$=rt$\overrightarrow{OA}$+r（1-t）$\overrightarrow{OB}$，且 rt+r（1-t）=r≥1得出結(jié)論

解答 解：設(shè)M在陰影區(qū)域內(nèi)，則射線OM與線段AB有公共點(diǎn)，記為N，
則存在實(shí)數(shù)t∈（0，1]使得$\overrightarrow{ON}$=t$\overrightarrow{OA}$+（1-t）$\overrightarrow{OB}$，
且存在實(shí)數(shù)r≥1，使得$\overrightarrow{OM}$=r$\overrightarrow{ON}$，從而$\overrightarrow{OM}$=rt$\overrightarrow{OA}$+r（1-t）$\overrightarrow{OB}$，且 rt+r（1-t）=r≥1．
又由于 0≤t≤1，故 r（1-t）≥0．
對(duì)于①中rt=1，r（1-t）=2，解得r=3，t=$\frac{2}{3}$，滿足r≥1也滿足r（1-t）≥0，故①滿足條件．
對(duì)于②rt=$\frac{3}{4}$，r（1-t）=$\frac{1}{3}$，解得r=$\frac{13}{12}$，t=$\frac{9}{13}$，滿足r≥1也滿足r（1-t）≥0，故②滿足條件，
對(duì)于③rt=$\frac{1}{2}$，r（1-t）=$\frac{1}{3}$，解得r=$\frac{5}{6}$，t=$\frac{3}{5}$，不滿足r≥1，故③不滿足條件，
對(duì)于④rt=$\frac{3}{4}$，r（1-t）=$\frac{1}{5}$，解得r=$\frac{19}{20}$，t=$\frac{15}{19}$，不滿足r≥1，故④不滿足條件，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量基本定理，向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．