Question

【題目】設(shè)為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）若不等式對(duì)任意正整數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析；

【解析】

（1）根據(jù)題中的關(guān)系式，利用得出數(shù)列是等差數(shù)列，可得通項(xiàng)公式；

（2）時(shí)，求出的范圍，接著證明的此范圍對(duì)的正整數(shù)都成立，首先由，放縮，然后結(jié)合二項(xiàng)式定理證明結(jié)論；

（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出變形并放縮

，再由當(dāng)時(shí)，放縮裂項(xiàng)相消法求和證明結(jié)論.

（1）∵，

∴，

兩式相減，得，

即，

∴，

∵為正項(xiàng)數(shù)列，∴，

又由，解得或（舍去），

∴.

（2），即，

當(dāng)時(shí)，，

解得且，

下面證明當(dāng)且時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)都成立，

當(dāng)時(shí)，，

∴，

又當(dāng)時(shí)，上式顯然成立，

故只要證明對(duì)任意正整數(shù)都成立即可，

又，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（3）證明：由題得，

∵，

∴.

當(dāng)時(shí)，

，

∴.