Question

設(shè)數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，若，.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）對于正整數(shù)（），求證：“且”是“這三項經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成立的充要條件；

（3）設(shè)數(shù)列滿足：對任意的正整數(shù)，都有

，且集合中有且僅有3個元素，試求的取值范圍.

Answer 1

（1），（2）詳見解析，（3）

【解析】

試題分析：（1）求等比數(shù)列通項公式，一般利用待定系數(shù)法求【解析】
由得，由得，即，，（2）充要條件證明需從兩方面證明：必要性：設(shè)這三項經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，這需分三種情況討論并利用整數(shù)奇偶性進行說明；其中由可得 . 充分性：設(shè)，，只需驗證即，調(diào)整順序后易知成等差數(shù)列，（3）利用和項與通項關(guān)系先求出數(shù)列通項公式，從而，問題轉(zhuǎn)化為求研究單調(diào)性，進而確定其值域變化趨勢：，而時，，此時單調(diào)遞減，所以由，，，，可得.

試題解析：（1）數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，

又，，，； 4分

（2）（�。┍匾�性：設(shè)這三項經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，

①若，則，，，

. 6分

②若，則，，左邊為偶數(shù)，等式不成立，

③若，同理也不成立，

綜合①②③，得，所以必要性成立. 8分

（ⅱ）充分性：設(shè)，，

則這三項為，即，調(diào)整順序后易知成等差數(shù)列，

所以充分性也成立.

綜合（ⅰ）（ⅱ），原命題成立. 10分

（3）因為，

即，（*）

當(dāng)時，，（**）

則（**）式兩邊同乘以2，得，（***）

（*）－（***），得，即，

又當(dāng)時，，即，適合，. 14分

，，

時，，即；

時，，此時單調(diào)遞減，

又，，，，. 16分

考點：等比數(shù)列通項公式，等差數(shù)列，由和項求通項