Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-2x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線f（x）在點（0，f（0））的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若存在x∈[

1

2

 ， 2]使不等式f（x）＜mx成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）f（x）=e^x-2x，f（0）=1，f′（x）=e^x-2，得f′（0）=-1，由此能求出曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程．
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）=e^x-ax得到f′（x）=e^x-a，由此根據(jù)a的取值范圍進行分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）由題意知，f′（0）=0，再由M∩P≠∅，得到不等式f（x）＜mx在[

1

2

，2]有解，分離參數(shù)，求得函數(shù)最值，即可得到實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=e^x-2x，f（0）=1，f′（x）=e^x-2，得f′（0）=-1，
所以曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=-x+1．
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a．
當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間；
當a＞0時，x∈（-∞，lna）時，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0，
此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lna）．
（Ⅲ）由函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值，則f′（0）=0得a=1，經(jīng)檢驗此時f（x）在x=0處取得極小值．
因為M∩P≠∅，
所以f（x）＜mx在[

1

2

，2]有解，即使f（x）＜mx成立，
即?x∈[

1

2

，2]，使m＞

ex-2x

x

成立，
∴m＞

ex-2x

x

_min，
令g（x）_min=

ex

x

-2，g′（x）=

(x-1)e2

x2

，
∴g（x）在上[

1

2

，1]單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
則g（x）_min=g（1）=e-2，
所以m∈（e-2，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的切線方程的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運用．