Question

實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，過點(diǎn)P（-3，2）作直線ax+by+c=0的垂線，垂足為M．又已知點(diǎn)N（2，3），則線段MN長(zhǎng)的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：由已知條件推導(dǎo)出M點(diǎn)軌跡為以PQ為直徑的圓，圓心為PQ的中點(diǎn)C（-1，0），半徑r=

1

2

|PQ|=

1

2

16+16

=2

2

，由此能求出線段MN長(zhǎng)度的取值范圍．

解答： 解：∵實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，∴b=

1

2

（a+c），
動(dòng)直線ax+by+c=0，即ax+

a+c

2

y+c=0，
∴a（x+

y

2

）+c（

y

2

+1）=0，
∴

x+ y 2 =0 y 2 +1=0

，解得x=1，y=-2，
∴動(dòng)直線ax+by+c=0恒過Q（1，-2）點(diǎn)，
∵過點(diǎn)P（-3，2）作直線ax+by+c=0的垂線，垂足為M，
∴PM⊥QM，∴M點(diǎn)軌跡為以PQ為直徑的圓，
圓心為PQ的中點(diǎn)C（-1，0），半徑r=

1

2

|PQ|=

1

2

16+16

=2

2

，
∵N（2，3），∴|NC|=

9+9

=3

2

，
∴|MN|_min=|NC|-r=3

2

-2

2

=

2

，|MN|_max=|NC|+r=3

2

+2

2

=5

2

，
∴線段MN長(zhǎng)度的取值范圍是[

2

，5

2

]．
故答案為：[

2

，5

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．