Question

8．求極限：$\underset{lim}{x→a}$$\frac{x}{x-a}$${∫}_{a}^{x}$f（t）dt，其中f（x）連續(xù)．

Answer 1

分析 設(shè)F（x）為f（x）的原函數(shù)，即F'（x）=f（x），再根據(jù)定積分和導(dǎo)數(shù)定義對(duì)該式化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出結(jié)果．

解答 解：設(shè)F（x）為f（x）的原函數(shù)，即F'（x）=f（x），
所以，${∫}_{a}^{x}$f（t）dt=F（x）-F（a），因此，
原式=$\underset{lim}{x→a}$[$\frac{x}{x-a}$（F（x）-F（a））]dt
=$\underset{lim}{x→a}$[x•$\frac{F（x）-F（a）}{x-a}$]
=$\underset{lim}{x→a}$x•$\underset{lim}{x→a}$$\frac{F（x）-F（a）}{x-a}$
=a•F'（a）
=af（a），
即$\underset{lim}{x→a}$[$\frac{x}{x-a}$${∫}_{a}^{x}$f（t）dt]=af（a）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了極限及其運(yùn)算，涉及定積分的運(yùn)算和導(dǎo)數(shù)的概念，屬于中檔題．