Question

17．a(chǎn)，b是不等的兩正數(shù)，若$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-^{n+1}}{{a}^{n}+^{n}}$=2，則b的取值范圍是（0，2）．

Answer 1

分析 當(dāng)a＞b時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-^{n+1}}{{a}^{n}+^{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{a-b•（\frac{a}）^n}{1+（\frac{a}）^n}$=a，進(jìn)而求出b的范圍．

解答 解：a，b是不等的兩正數(shù)，且$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-^{n+1}}{{a}^{n}+^{n}}$=2，
須對(duì)a，b作如下討論：
①當(dāng)a＞b時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}$$（\frac{a}）^n$=0，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-^{n+1}}{{a}^{n}+^{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{a-b•（\frac{a}）^n}{1+（\frac{a}）^n}$=a，
所以，a=2，因此，b∈（0，2），
②當(dāng)a＜b時(shí)，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-^{n+1}}{{a}^{n}+^{n}}$=-b=2，
而b＞0，故不合題意，舍去．
綜合以上討論得，b∈（0，2），
故答案為：（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了極限及其運(yùn)算，以及應(yīng)用常用極限|q|＜1，$\underset{lim}{n→∞}$qⁿ=0解題，屬于基礎(chǔ)題．