Question

下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
①對(duì)任意兩向量

a

、

b

，均有：|

a

|-|

b

|＜|

a

|+|

b

|
②若單位向量

a

、

b

夾角為120°，則當(dāng)|2

a

+x

b

|（x∈R）取最小值時(shí)，x=1
③若

OB

=（6，-3），

OA

=（3，-4），

OC

=（5-m，-3-m），∠ABC為銳角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞-

3

4

④在四邊形ABCD中，（

AB

+

BC

）-（

CD

+

DA

）=

0

．

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：①讓|

b

|=0，便不符合該命題，所以該命題錯(cuò)誤．
②為求|2

a

+x

b

|，先求(2

a

+x

b

)2，只要讓(2

a

+x

b

)2最小即可．
③由∠ABC為銳角，能得到0＜cos∠ABC＜1，根據(jù)向量的夾角計(jì)算公式便可得到m的取值范圍．
④根據(jù)向量的加法，減法運(yùn)算便可判斷該命題．

解答： 解：①若設(shè)|

b

|=0，則有|

a

|-|

b

|=|

a

|+|

b

|．
②(2

a

+x

b

)2=4+4x×(-

1

2

)+x2=x²-2x+4=（x-1）²+3≥3
∴x=1時(shí)，|2

a

+x

b

|取得最小值．所以該命題正確．
③根據(jù)已知條件：

BA

=(-3，-1)，

BC

=(-m-1，-m)；
∴

BA

•

BC

=4m+3，|

BA

|=

10

，|

BC

|=2m²+2m+1；
∴cos∠ABC=

4m+3

2m2+2m+1

；
∵∠ABC為銳角，∴0＜

4m+3

2m2+2m+1

＜1，解得m＞

1+ 5

2

，   或m＜

1- 5

2

，所以該命題錯(cuò)誤．
④(

AB

+

BC

)-(

CD

+

DA

)=2

AC

，所以本命題錯(cuò)誤．
所以正確的命題個(gè)數(shù)為：1．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：考查的知識(shí)點(diǎn)有：向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，向量夾角的計(jì)算公式，向量的加減法，兩向量模的差與模的和的大小關(guān)系，注意求一個(gè)向量的長度，先求該向量的平方的方法．