Question

某次數(shù)學(xué)考試中有三道選做題，分別為選做題1、2、3．規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題．甲、乙、丙三名考生選做這一題中任意一題的可能性均為

1

3

，每位學(xué)生對每題的選擇是相互獨(dú)立的，各學(xué)生的選擇相互之間沒有影響．
（1）求這三個(gè)人選做的是同一道題的概率：
（2）設(shè)ξ為三個(gè)人中做選做題l的人數(shù)，求ξ的分布列與均值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)事件A₁表示三個(gè)人選做題1，A₂表示三個(gè)人選做題2，A₃表示三個(gè)人選做題3，則這三個(gè)人選做的是同一道題事件為A₁+A₂+A₃，根據(jù)互斥事件概率乘法公式，可得答案．
（2）ξ可能取值為0，1，2，3．結(jié)合甲、乙、丙三名考生選做這一題中任意一題的可能性均為

1

3

，可計(jì)算出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)事件A₁表示三個(gè)人選做題1，A₂表示三個(gè)人選做題2，A₃表示三個(gè)人選做題3，
則這三個(gè)人選做的是同一道題的概率為P（A₁+A₂+A₃）=3×

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

9

；
（2）ξ可能取值為0，1，2，3，且5名考生選做這三題的任意一題的可能性均為

1

3

，
∴P（ξ=k）=

C

k 3

•(

1

3

)k•(

2

3

)3-k，k=0，1，2，3，
∴分布列為

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

∴Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了離散型隨機(jī)變量的定義及其分布列，并且利用分布列求出期望，還考查了考慮問題時(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S及計(jì)算能力．