Question

在數(shù)列a_n中a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（2n+1）（n∈N^*
（1）求數(shù)列a_n的通項公式；
（2）求數(shù)列{

nan

2n

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n≥2時，根據(jù)條件得到n-1時式子的和為（n-1）（2n-1），相減得到a_n的通項公式，把n=1代入判斷也滿足；
（2）把a_n的通項公式代入到b_n=

nan

2n

中得到b_n的通項公式，表示出前n項的和T_n，兩邊都乘以

1

2

，相減得到T_n的通項即可．

解答：解：（1）n≥2時，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-1）（2n-1）
∴na_n=4n-1，a_n=4-

1

n

．
當(dāng)n=1時，a₁=3滿足上式，
∴a_n=4-

1

n

（n≥1，n∈N⁺）
（2）記b_n=

nan

2n

則b_n=

4n-1

2n

，
∴T_n=

3

2

+

7

22

+

11

23

+…+

4n-1

2n

，
而

1

2

T_n=

3

22

+

7

23

+

11

24

+…+

4n-5

2n

+

4n-1

2n+1

∴

1

2

T_n=

7

2

-

4n+7

2n+1

，T_n=7-

4n+7

2n

點評：考查學(xué)生會根據(jù)已知條件推出數(shù)列的通項公式，靈活運用數(shù)列的遞推式得到數(shù)列的前n項的和．