Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx
（1）證明：f（x）在[-

π

3

，

π

12

]上遞增；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的余弦,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用和差公式及倍角公式化成正弦型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求f（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而證明區(qū)間[-

π

3

，

π

12

]是f（x）的單調(diào)區(qū)間的一個(gè)子區(qū)間；
（2）根據(jù)x的取值范圍求出2x+

π

3

的范圍，然后求出2sin（2x+

π

3

）的范圍，即可得到f（x）的最大值與最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx
=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

2

（1-cos2x）+

1

2

sin2x
=sinxcosx+

3

cos²x-

3

2

+

3

2

cos2x+

1

2

sin2x
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

），
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，（k∈Z）
當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為[-

5π

12

，

π

12

]，
又∵[-

π

3

，

π

12

]⊆[-

5π

12

，

π

12

]，
∴f（x）在[-

π

3

，

π

12

]上遞增；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]
∴-

3

≤2sin（2x+

π

3

）≤2
∴求f（x）的最大值為2，最小值為-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角變換及三角函數(shù)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是把函數(shù)表達(dá)式化成正弦型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)f（x）的性質(zhì)．