Question

將圓x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=（1，-1）平移得到圓O，直線l和圓O相交于A、B兩點(diǎn)，若在圓O上存在點(diǎn)C，使

OC

+

OA

+

OB

=

0

，且

OC

=λ

a

．
（1）求λ的值；
（2）求弦AB的長(zhǎng)；
（3）求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）圓x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=（1，-1）平移，得到圓O：x²+y²=2，半徑r=

2

．由此能求出λ=±1．
（2）取AB中點(diǎn)D，連結(jié)OD，由

OA

+

OB

+

OC

=

0

，得

OC

=-2

OD

，由OD⊥AB，由此能求出AB．
（3）當(dāng)λ=1時(shí)，

OC

=

a

=（1，-1），設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則

OD

=(x，y)=-

1

2

OC

=(-

1

2

，

1

2

)，由此能求出AB的方程為x-y-1=0．

解答： 解：（1）圓x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=（1，-1）平移，
得到圓O：x²+y²=2，所以半徑r=

2

．
∵|

OC

|=|λ

a

|=

2

，
即|λ||

a

|=

2

，∴λ=±1．
（2）取AB中點(diǎn)D，連結(jié)OD，
∵

OA

+

OB

=2

OD

，
由

OA

+

OB

+

OC

=

0

，
得

OC

=-2

OD

，
∴|

OD

|=

1

2

|

OC

|=

2

2

，
又∵OD⊥AB，∴AB=2

OA2-OD2

=

6

2

．
（3）當(dāng)λ=1時(shí)，

OC

=

a

=（1，-1），
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則

OD

=(x，y)=-

1

2

OC

=(-

1

2

，

1

2

)，
又∵直線AB的斜率k_AB=-

1

kOD

=1．AB的方程為x-y+1=0．
當(dāng)λ=-1時(shí)，

OC

=-

a

=（-1，1），
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則

OD

=(x，y)=-

1

2

OC

=(

1

2

，-

1

2

)，
又∵直線AB的斜率k_AB=-

1

kOD

=1．
AB的方程為x-y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查λ的值、弦AB的長(zhǎng)和直線l的方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意直線方程性質(zhì)的合理運(yùn)用．