Question

14．為了促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，貴州某中學(xué)重視學(xué)生社團(tuán)文化建設(shè)，2014年該校某新生確定爭(zhēng)取進(jìn)入曾獲團(tuán)中央表彰的“海濟(jì)社”和“話劇社”．已知該同學(xué)通過(guò)考核選撥進(jìn)入兩個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立，根據(jù)報(bào)名情況和他本人的才藝能力，兩個(gè)社團(tuán)都能進(jìn)入的概率為$\frac{1}{24}$，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為$\frac{3}{8}$，并且進(jìn)入“海濟(jì)社”的概率小于進(jìn)入“話劇社”的概率．
（1）求該同學(xué)分別通過(guò)選撥進(jìn)入“海濟(jì)社”的概率p₁和進(jìn)入“話劇社”的概率p₂；
（2）學(xué)校根據(jù)這兩個(gè)社團(tuán)的活動(dòng)安排情況，對(duì)進(jìn)入“海濟(jì)社”的同學(xué)增加1個(gè)校本選修課學(xué)分，對(duì)進(jìn)入“話劇社”的同學(xué)增加0.5個(gè)校本選修課學(xué)分．求該同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修加分分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）仔細(xì)閱讀題意得出有 $\left\{\begin{array}{l}{{P}_{1}{P}_{2}=\frac{1}{24}}\\{1-（1-{P}_{1}）（1-{P}_{2}）=\frac{3}{8}}\end{array}\right.$求解即可．
（2）得出不等式$|{2x-1}|-|{x+1}|≤log\begin{array}{l}a\\ 2\end{array}$，確定a＞0的取值有0、0.5、1、1.5．分別求解相應(yīng)的概率即可．

解答 解：（1）據(jù)題意，有   $\left\{\begin{array}{l}{{P}_{1}{P}_{2}=\frac{1}{24}}\\{1-（1-{P}_{1}）（1-{P}_{2}）=\frac{3}{8}}\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}{{P}_{1}=\frac{1}{6}}\\{{P}_{2}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$                                          
（2）令該同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課加分分?jǐn)?shù)為ξ，
則ξ的取值有0、0.5、1、1.5．
P（ξ=0）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{6}$）=$\frac{15}{24}$，
P（ξ=0.5）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{6}$）=$\frac{5}{24}$，
P（ξ=1）=（1-$\frac{1}{4}$）$\frac{1}{6}$=$\frac{3}{24}$，
P（ξ=1.5）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{24}$，

ξ	0	0.5	1	1.5
p	$\frac{15}{24}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{3}{24}$	$\frac{1}{24}$

所以ξ的數(shù)學(xué)期望為：0×$\frac{15}{24}$+0.5×$\frac{5}{24}$+1×$\frac{3}{24}$+1.5×$\frac{1}{24}$=$\frac{7}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了綜合運(yùn)用離散型的概率分布知識(shí)求解問(wèn)題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確求解概率，列出分布列，得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望，也可以轉(zhuǎn)化為不等式求解，綜合性較強(qiáng)