Question

14．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
（1）點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）求證：無(wú)論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF與平面PAC平行；利用中位線性質(zhì)以及線面平行的判定定理可得；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理矩形證即可．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF與平面PAC平行．…（2分）
理由如下：
∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點(diǎn)，
∴EF∥PC．

又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．…（6分）
（2）∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵ABCD是矩形，∴BC⊥AB．
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AF?平面PAB，
∴BC⊥AF．…（9分）
PA=AB，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，∴AF⊥PB．
又∵BC∩PB=B，∴AF⊥平面PBC，∵PE?平面PBC，∴AF⊥PE．
∴無(wú)論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PE⊥AF．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題實(shí)質(zhì)上考查了線面平行的判定定理的運(yùn)用以及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用；熟練運(yùn)用定理是關(guān)鍵．