Question

3．己知函數(shù)f（x）=ae^x+x²，g（x）=sinx+bx，直線l與曲線C₁：y=f（x）切于點（0，f（0））且與
曲線C₂：y=g（x）切于點（$\frac{π}{2}$，g（$\frac{π}{2}$））．
（I）求a，b的值和直線l的方程．
（Ⅱ）證明：除切點外，曲線C₁，C₂位于直線l的兩側(cè)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求出f（x）、g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切線方程，再由切線唯一，即可求得a，b和切線方程；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）-（x+1）=e^x+x²-x-1，運用導(dǎo)數(shù)，求得最小值大于0，再設(shè)G（x）=x+1-g（x），由正弦函數(shù)的值域可得G（x）≥0，即可得到f（x）＞g（x），即可得證．

解答 解：（Ⅰ）f（x）和g（x）的導(dǎo)數(shù)分別為f′（x）=ae^x+2x，g′（x）=cosx+b，
即有f（0）=a，f′（0）=a，g（$\frac{π}{2}$）=1+$\frac{π}{2}$b，g′（$\frac{π}{2}$）=b，
曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線為y=ax+a，
曲線y=g（x）在點（$\frac{π}{2}$，g（$\frac{π}{2}$））處的切線為：
y=b（x-$\frac{π}{2}$）+1+$\frac{π}{2}$b，即y=bx+1．
依題意，有a=b=1，直線l方程為y=x+1．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f（x）=e^x+x²，g（x）=sinx+x．
設(shè)F（x）=f（x）-（x+1）=e^x+x²-x-1，則F′（x）=e^x+2x-1，
當(dāng)x∈（-∞，0）時，F(xiàn)′（x）＜F′（0）=0；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞F′（0）=0．
F（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，
故F（x）≥F（0）=0．
設(shè)G（x）=x+1-g（x）=1-sinx，則G（x）≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）時等號成立．
綜上可知，f（x）≥x+1≥g（x），且兩個等號不同時成立，
因此f（x）＞g（x）．
所以除切點外，曲線C₁，C₂位于直線l的兩側(cè)．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題和易錯題．