Question

8．已知長方體的長、寬、高分別為3、3、4，從長方體的12條棱中任取兩條．設(shè)ξ為隨機(jī)變量，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ=0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ=3．
（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為長方體8個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，過任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱，所以共有$8C_3^2$對(duì)相交棱，由此能求出概率P（ξ=0）．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，3，4，5，3$\sqrt{2}$，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為長方體8個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，過任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱，
所以共有$8C_3^2$對(duì)相交棱，
∴$P（ξ=0）=\frac{8C_3^2}{{C_{12}^2}}=\frac{24}{66}=\frac{4}{11}$．（4分）
（2）若兩條棱平行，則他們的距離為3，4，5，$3\sqrt{2}$，∴ξ的可能取值為0，3，4，5，3$\sqrt{2}$，
$P（ξ=0）=\frac{8C_3^2}{{C_{12}^2}}=\frac{24}{66}=\frac{4}{11}$，
$P（ξ=4）=\frac{4}{{C_{12}^2}}=\frac{4}{66}=\frac{2}{33}$，（5分）
$P（ξ=5）=\frac{4}{{C_{12}^2}}=\frac{4}{66}=\frac{2}{33}$，（6分）
$P（ξ=3\sqrt{2}）=\frac{2}{{C_{12}^2}}=\frac{2}{66}=\frac{1}{33}$，（7分）
$P（ξ=3）=1-P（ξ=4）-P（ξ=5）-P（ξ=3\sqrt{2}）-P（ξ=0）=1-2\frac{4}{{C_{12}^2}}-\frac{2}{66}-\frac{24}{66}=\frac{32}{66}=\frac{16}{33}$，（8分）
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	3	4	5	$3\sqrt{2}$
P（ξ）	$\frac{4}{11}$	$\frac{16}{33}$	$\frac{2}{33}$	$\frac{2}{33}$	$\frac{1}{33}$

$E（ξ）=3×\frac{16}{33}+4×\frac{2}{33}+5×\frac{2}{33}+3\sqrt{2}×\frac{1}{33}=\frac{{66+3\sqrt{2}}}{33}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，巧妙地把立體幾何與概率統(tǒng)計(jì)有機(jī)地結(jié)合到一起，是中檔題．