【題目】對(duì)于數(shù)列{an},若從第二項(xiàng)起的每一項(xiàng)均大于該項(xiàng)之前的所有項(xiàng)的和,則稱{an}P數(shù)列.

1)若{an}的前n項(xiàng)和Sn3n+2,試判斷{an}是否是P數(shù)列,并說(shuō)明理由;

2)設(shè)數(shù)列a1,a2,a3,a10是首項(xiàng)為﹣1、公差為d的等差數(shù)列,若該數(shù)列是P數(shù)列,求d的取值范圍;

3)設(shè)無(wú)窮數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a、公比為q的等比數(shù)列,有窮數(shù)列{bn},{cn}是從{an}中取出部分項(xiàng)按原來(lái)的順序所組成的不同數(shù)列,其所有項(xiàng)和分別為T1,T2,求{an}P數(shù)列時(shí)aq所滿足的條件,并證明命題a0T1T2,則{an}不是P數(shù)列”.

【答案】1)數(shù)列{an}P數(shù)列;詳見(jiàn)解析(23;證明見(jiàn)解析

【解析】

1)先求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后結(jié)合P數(shù)列的特點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證;

2)先求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后結(jié)合P數(shù)列的特點(diǎn)列出不等關(guān)系,然后進(jìn)行求解;

3)根據(jù)P數(shù)列建立不等關(guān)系,求解不等式可得.

1)∵

,

當(dāng)n1時(shí),a1S15

,

那么當(dāng)時(shí),,符合題意,

故數(shù)列{an}P數(shù)列.

2)由題意知,該數(shù)列的前n項(xiàng)和為,

由數(shù)列a1,a2,a3,a10P數(shù)列,可知a2S1a1,故公差d0,

對(duì)滿足n1,23,,9的任意n都成立,則,解得,

d的取值范圍為.

3)①若{an}P數(shù)列,則aS1a2aq,

a0,則q1,又由an+1Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立,可知,即對(duì)一切正整數(shù)n都成立,

,故2q≤0,可得q≥2,;

a0,則q1,又由an+1Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立,可知,即(2qqn1對(duì)一切正整數(shù)n都成立,

又當(dāng)q∈(﹣,﹣1]時(shí),(2qqn1當(dāng)n2時(shí)不成立,

故有,解得

∴當(dāng){an}P數(shù)列時(shí),aq滿足的條件為

②假設(shè){an}P數(shù)列,則由①可知,q≥2a0,且{an}中每一項(xiàng)均為正數(shù),

{bn}中的每一項(xiàng)都在{cn}中,則由這兩數(shù)列是不同數(shù)列,可知T1T2;

{cn}中的每一項(xiàng)都在{bn}中,同理可得T1T2

{bn}中至少有一項(xiàng)不在{cn}中且{cn}中至少有一項(xiàng)不在{bn}中,

設(shè){bn'}{cn'是將{bn},{cn}中的公共項(xiàng)去掉之和剩余項(xiàng)依次構(gòu)成的數(shù)列,它們的所有項(xiàng)和分別為T1',T2'

不妨設(shè){bn'},{cn'}中最大的項(xiàng)在{bn'}中,設(shè)為amm≥2),

T2'≤a1+a2+……+am1amT1',故T2'T1',故總有T1T2T1T2矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤,原命題正確.

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