【題目】已知函數(shù).
(1)求證:當(dāng)時(shí),函數(shù)在上,存在唯一的零點(diǎn);
(2)當(dāng)時(shí),若存在,使得成立,求的取值范圍.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)(0,1).
【解析】試題分析:(1)先證明函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,再根據(jù)零點(diǎn)存在定理證明上存在零點(diǎn)即可。(2)“若存在,使得成立”轉(zhuǎn)化為
“”,利用導(dǎo)數(shù)可得 ,從而由得,設(shè)g(a)=lna+a﹣1,由g(a)的單調(diào)性可得當(dāng)0<a<1時(shí),g(a)<0,故所求范圍為(0,1)。
試題解析:
(1)證明:∵, ,
∴,
∵,
∴,
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
又當(dāng)a≤0時(shí), , ,
所以函數(shù)上存在唯一零點(diǎn)。
(2)由(1)得,
∵a>0,
∴當(dāng)x∈(0, )時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減。
∴在x=時(shí)取得最大值,且最大值為。
“存在”等價(jià)于
∴,
∴,
令g(a)=lna+a﹣1
∵g(a)在(0,+∞)單調(diào)遞增,且g(1)=0,
∴當(dāng)0<a<1時(shí),g(a)<0;當(dāng)a>1時(shí),g(a)>0。
∴a的取值范圍為(0,1)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品的歷史戶獲益率(獲益率=獲益÷保費(fèi)收入)的頻率分布直方圖如圖所示:
(Ⅰ)試估計(jì)平均收益率;
(Ⅱ)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)若每份保單的保費(fèi)在 元的基礎(chǔ)上每增加 元,對(duì)應(yīng)的銷量 (萬(wàn)份)與 (元)有較強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系,從歷史銷售記錄中抽樣得到如下 組 與 的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):
(元) | |||||
銷量 (萬(wàn)份) |
(ⅰ)根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出銷量 (萬(wàn)份)與 (元)的回歸方程為 ;
(ⅱ)若把回歸方程 當(dāng)作 與 的線性關(guān)系,用(Ⅰ)中求出的平均獲益率估計(jì)此產(chǎn)品的獲益率,每份保單的保費(fèi)定為多少元時(shí)此產(chǎn)品可獲得最大獲益,并求出該最大獲益.
參考公示:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)? ,若函數(shù) 滿足下列兩個(gè)條件,則稱 在定義域 上是閉函數(shù).① 在 上是單調(diào)函數(shù);②存在區(qū)間 ,使 在 上值域?yàn)? .如果函數(shù) 為閉函數(shù),則 的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量, (),若,且的圖象上兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為.
(Ⅰ)求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)的內(nèi)角, , 的對(duì)邊分別為, , ,且滿足, , ,求, 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的傾斜角;
(2)設(shè)點(diǎn),直線和曲線交于兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4,坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為 ,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為。
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程。
(2)設(shè)點(diǎn)P為曲線C上的任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線的距離的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率.以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為8,面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),直線的方程為,求證:直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正四棱錐中,已知異面直線與所成的角為,給出下面三個(gè)命題:
:若,則此四棱錐的側(cè)面積為;
:若分別為的中點(diǎn),則平面;
:若都在球的表面上,則球的表面積是四邊形面積的倍.
在下列命題中,為真命題的是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2018江西蓮塘一中、臨川二中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】二次函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn),對(duì),恒有成立,設(shè)數(shù)列滿足.
(I)求證:對(duì),恒有成立;
(II)求函數(shù)的表達(dá)式;
(III)設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為,求的值.
【答案】(I)證明見(jiàn)解析;(II);(III)2018.
【解析】試題分析:
(1)左右兩側(cè)做差,結(jié)合代數(shù)式的性質(zhì)可證得,即對(duì),恒有:成立;
(2)由已知條件可設(shè),給定特殊值,令,從而可得:,則,,從而有恒成立,據(jù)此可知,則.
(3)結(jié)合(1)(2)的結(jié)論整理計(jì)算可得:,據(jù)此分組求和有:.
試題解析:
(1)(僅當(dāng)時(shí),取“=”)
所以恒有:成立;
(2)由已知條件可設(shè),則中,令,
從而可得:,所以,即,
又因?yàn)?/span>恒成立,即恒成立,
當(dāng)時(shí),,不合題意舍去,
當(dāng)時(shí),即,所以,所以.
(3),
所以,
即.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知函數(shù) 為定義在上的奇函數(shù).
(1)求函數(shù)的值域;
(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.
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