Question

己知向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），記f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（

2π

3

-x）的值；
（Ⅱ）在銳角△ABC申，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理的應(yīng)用,平面向量的綜合題

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用向量的運算法則和向量的坐標(biāo)化簡整理出f（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)f（x）=1求得sin（

x

2

+

π

6

）的值，最后利用二倍角的余弦函數(shù)公式求得答案．
（Ⅱ）利用正弦定理把已知條件中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，進(jìn)而化簡求得cosB的值，繼而求得B，則A的范圍可得，確定

A

2

+

π

6

的范圍，進(jìn)而根據(jù)第一問中f（x）的解析式和正弦函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)f（A）的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

因為f（x）=1，
所以sin(

x

2

+

π

6

)=

1

2

，cos(x+

π

3

)=1-2sin2(

x

2

+

π

6

)=

1

2

cos(

2π

3

-x)=-cos(x+

π

3

)=-

1

2

．
（Ⅱ）因為（2a-c）cosB=bcosC
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
所以2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
所以2sinAcosB=sin（B+C），
因為A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，且sinA≠0
所以cosB=

1

2

，B=

π

3

，
所以0＜A＜

2π

3

，
所以

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，

1

2

＜sin(

A

2

+

π

6

)＜1，
又因為f（x）=

m

•n

=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

，
所以f（A）=sin(

A

2

+

π

6

)+

1

2

，
故函數(shù)f（A）的取值范圍是 (1，

3

2

)

點評：本題主要考查了向量的運算法則的應(yīng)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析和解決問題的能力．