Question

已知銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，且（2c-b）cosA=acosB．
（1）求角A的值
（2）若a=

3

，則求b+c的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理的應用,正弦定理的應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）利用正弦定理化簡已知等式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式化簡，根據(jù)sinC不為0求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)．
（2）通過正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡b+c為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過角的范圍求出三角函數(shù)的值的范圍即可．

解答： 解：（1）由（2c-b）cosA=acosB及正弦定理得（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
得2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），
∵A+B+C=π，
∴sin（A+B）=sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
∵A為三角形的內角，
∴A=

π

3

．
（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，
∴b+c=2（sinB+sinC）=2（sinB+sin（

2π

3

-B））=2

3

sin(B+

π

6

)，
∵

0＜B＜ π 2 0＜ 2π 3 -B＜ π 2

∴

π

6

＜B＜

π

2

⇒

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

∴b+c∈(3，2

3

]．

點評：此題考查了余弦定理、正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關鍵．