Question

已知直線l：x+y+m=0（m∈R）與圓C：x²+y²+2x+4y-4=0相交于A、B兩點．
（1）若|AB|﹦2，求m的值；
（2）是否存在實數(shù)m，使得以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O？若存在，請求出這樣的m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）圓的方程化為標準方程，求出圓心與半徑，由|AB|﹦2，可得直線l：x+y+m=0過圓心，即可求出m的值；
（2）假設存在實數(shù)m，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，則k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根與系數(shù)關系求解實數(shù)m的值．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²+2x+4y-4=0可化為：（x+1）²+（y+2）²=1，
∴圓心C（-1，-2），半徑為1，
∵|AB|﹦2，
∴直線l：x+y+m=0過圓心，
∴-1-2+m=0，
∴m=3；
（2）記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
假設存在實數(shù)m，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，
則k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（-x₁-m）（-x₂-m）=0，
即2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
直線l：x+y+m=0（m∈R）與圓C：x²+y²+2x+4y-4=0聯(lián)立，消去y，
可得2x²+（2m-2）x+m²-4m-4=0，
∴x₁+x₂=1-m，2x₁x₂=m²-4m-4，
∴m²-4m-4+m（1-m）+m²=0，
∴m²-3m-4=0，
∴m=-1或m=4，滿足題意．

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，是中檔題．