Question

4．已知各項均不相同的等差數(shù)列{a_n}的前4項和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式：
（2）設T_n為數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和，求證：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 （1）解：設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，
∴${a}_{3}^{2}={a}_{1}{a}_{7}$，即$（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）$，
化為a₁=2d．∵S₄=14，∴4a₁+$\frac{4×3}{2}d$=14，化為2a₁+3d=7．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2d}\\{2{a}_{1}+3d=7}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
（2）證明：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$＜$\frac{1}{2}$．
∴T_n＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．