在直角坐標(biāo)系xoy中，圓O的方程為x2+y2=1．
（1）若直線l與圓O切于第一象限且與坐標(biāo)軸交于點A，B，當(dāng)|AB|最小時，求直線l的方程；
（2）若A，B是圓O與x軸的交點，C是圓在直徑AB的上方的任意一點，過該點作CD⊥AB交圓O于點D，當(dāng)點C在圓O上移動時，求證：∠OCD的角平分線經(jīng)過圓O上的一個定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
分析：（1）設(shè)出直線方程，利用直線與圓相切，建立方程，利用基本不等式求出|AB|的最小值，從而可求直線l的方程；
（2）設(shè)∠OCD的角平分線為CP，交圓于P，證明OP⊥AB，即可求得結(jié)論．
解答：（1）解：設(shè)直線l的方程為
x
a
+
y
b
=1(a＞0，b＞0)，則
1
1
a2
+
1
b2
=1，
∴
1
a2
+
1
b2
=1，∴ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=
2
時，取等號）
∴|AB|=
a2+b2
≥
2ab
≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=
2
時，取等號）
即|AB|最小為2，此時直線l的方程為x+y-
2
=0；
（2）證明：設(shè)∠OCD的角平分線為CP，交圓于P，則∠OCP=∠DCP
因為OC、OP為圓的半徑，所以∠OCP=∠OPC，所以∠DCP=∠OPC
所以CD∥OP
因為CD⊥AB，A、B為定點，所以O(shè)P⊥AB
所以P為定點，坐標(biāo)為（0，-1）
點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運用，考查直線恒過定點，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P（2cosx+1，2cos2x+2）和點Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸的正半軸上運動，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動點，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個焦分別為F1，F(xiàn)2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個頂點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關(guān)于直線l 的對稱點落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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