Question

在平面直角坐標(biāo)系中，若

a

=（x-

3

，y），

b

=（x+

3

，y），且|

a

|+|

b

|=4，
（I）求動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)P（t，0）（t＞0），若斜率為1的直線l過(guò)點(diǎn)P并與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且對(duì)于軌跡C上任意一點(diǎn)M，都存在θ∈[0，2π]，使得

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

成立，試求出滿足條件的實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）|

a

|+|

b

|=4符合橢圓的定義，利用定義法求軌跡方程即可；
（Ⅱ）用參數(shù)確定M的坐標(biāo)，代入橢圓方程，可得x₁x₂+4y₁y₂=0，利用韋達(dá)定理，即可求出滿足條件的實(shí)數(shù)t的值．

解答： 解：（I）∵

a

=(x-

3

，y)，

b

=(x+

3

，y)，且|

a

|+|

b

|=4，
∴動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)的距離的和為4，
∴軌跡C是以F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)為焦點(diǎn)的橢圓，方程為

x2

4

+y2=1
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=x-t，代入

x2

4

+y2=1，
消去y得 5x²-8tx+4t²-4=0，
由△＞0得 t²＜5，且x1+x2=

8t

5

，x1x2=

4t2-4

5

，
∴y₁y₂=（x₁-t）（x₂-t）=

t2-4

5

設(shè)點(diǎn)M（x，y），由

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

可得 

x=x1cosθ+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

∵點(diǎn)M（x，y）在C上，
∴4=x2+4y2=(x1cosθ+x2sinθ)2+4(y1cosθ+y2sinθ)2
=(x12+4y12)cos2θ+(x22+4y22)sin2θ+2sinθcosθ(x1x2+4y1y2)
=4（cos²θ+sin²θ）+2sinθcosθ（x₁x₂+4y₁y₂）=4+2sinθcosθ（x₁x₂+4y₁y₂）
∴2sinθcosθ（x₁x₂+4y₁y₂）=0，
又因?yàn)棣取蔥0，2π]的任意性，∴x₁x₂+4y₁y₂=0，
∴

4t2-4

5

+

4(t2-4)

5

=0，又t＞0，得t=

10

2

，
代入t=

10

2

檢驗(yàn)，滿足條件，故t的值是

10

2

．

點(diǎn)評(píng)：定義法是求圓錐曲線中軌跡方程的重要方法，直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理是我們常用的方法．