Question

已知函數(shù)，

(1)證明：當(dāng)；

(2)證明：當(dāng)時(shí)，存在,使得對(duì)

(3)確定k的所以可能取值，使得存在，對(duì)任意的恒有.

Answer 1

解法一：(1)令則有

當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞減,

故當(dāng).

(2)令則有

當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞增,

故對(duì)任意正實(shí)數(shù)均滿足題意.

當(dāng).

取,所以在上單調(diào)遞增, ,即.

綜上，當(dāng)時(shí)，總存在,使得對(duì)任意的.

(3)當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于，

，

令，則有

故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,所以滿足題意的t不存在.

當(dāng)時(shí)，由（2）知存在,使得對(duì)任意的.

此時(shí),

令，則有

故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,記與中較小的為，

則當(dāng)，故滿足題意的t不存在.

當(dāng)，由（1）知，，

令，則有

當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故,

故當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意.

綜上，.

解法二：（1）（2）同解法一.

（3）當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于，

故，

令，

從而得到當(dāng)時(shí)，恒有,所以滿足題意的t不存在.

當(dāng)時(shí)，取

由（2）知存在,使得.

此時(shí),

令，此時(shí) ,

記與中較小的為，則當(dāng)，

故滿足題意的t不存在.

當(dāng)，由（1）知，，

令，則有

當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故,

故當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意.

綜上，.