Question

3．已知直線l過定點P（1，0）且與圓C：（x-2）²+（y-2）²=4相交于A、B兩點
（1）若直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$，求線段AB中點為M的坐標
（2）求當△ABC的面積最大時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．過定點P（1，0）且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l方程為y=x-1，與圓的方程聯(lián)立化為關于x的一元二次方程的根與系數(shù)的關系，利用中點坐標公式即可得出．
（2）當△ABC的面積最大時，CA⊥CB，C到直線y=k（x-1）的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$r．

解答 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
過定點P（1，0）且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l方程為y=x-1．
代入圓方程可化為2x²-10x+9=0，
∴x₁+x₂=5，
∴x_M=2.5，y_M=1.5．
∴M（2.5，1.5）；
（2）當△ABC的面積最大時，CA⊥CB，C到直線y=k（x-1）的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴$\frac{|2k-2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=-2±$\sqrt{6}$，
∴當△ABC的面積最大時直線l的方程為y=（-2±$\sqrt{6}$）（x-1）．

點評 本題綜合考查了直線與圓的位置關系，考查根與系數(shù)的關系、中點坐標公式，點到直線的距離公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．