Question

15．直線l：y=2x+3，A（3，4）、B（11，0），在l上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、B距離之差最大，求出P點(diǎn)坐標(biāo)及最大值．

Answer 1

分析 當(dāng)P點(diǎn)在直線l與過(guò)點(diǎn)A，B的直線的交叉點(diǎn)處時(shí)，它到A、B兩點(diǎn)的距離之差最大為AB，求出過(guò)點(diǎn)A（3，4），B（11，0）的直線方程，與直線l：y=2x+3聯(lián)立方程組，能求出P點(diǎn)坐標(biāo)及最大值．

解答 解：∵三角形兩邊之和必大于第三邊，反之兩邊之差必小于第三邊，
若PAB為三角形，則pA與pB之差必小于AB；
若P、A、B在一條直線上（P點(diǎn)不在線段AB內(nèi)），則PA與PB之差為AB，
故當(dāng)P點(diǎn)在直線l與過(guò)點(diǎn)A，B的直線的交叉點(diǎn)處時(shí)，
它到A、B兩點(diǎn)的距離之差最大為AB，
過(guò)點(diǎn)A（3，4），B（11，0）的直線方程為：$\frac{y}{x-11}=\frac{4}{3-11}$，
整理，得：x+2y-11=0，
與直線L：y=2x+3聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-11=0}\\{y=2x+3}\end{array}\right.$，解得x=1，y=5，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為P（1，5），
∴使點(diǎn)P到A、B距離之差最大，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5），
點(diǎn)P到A、B距離之差最大值：|AB|=$\sqrt{（3-11）^{2}+（4-0）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查使點(diǎn)P到A、B距離之差最大的P點(diǎn)坐標(biāo)及最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程與兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用，是中檔題．