Question

【題目】已知函數(shù)．

(Ⅰ)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(Ⅱ)若，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

【解析】

（Ⅰ）把分別代入原函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)解析式，求得f′（1）及f（1），利用直線方程的點(diǎn)斜式求解；（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，列關(guān)于x，f′（x），f（x）變化情況表，求得函數(shù)最小值f（a）．然后分f（a）＞0，f（a）＝0，f（a）＜0三類分析原函數(shù)的零點(diǎn)．

解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

f’(x)=,.

（I）若，f’(1)=3，且,

所以曲線在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-2=3(x-1)，即3x-y-1=0.

（Ⅱ）令f’(x)=0，得x=a，（舍）.

x,f(x), f’(x)變化情況如下表：

x	(0,a)	a
f’(x)		0
	↘	極小值	↗

)=a-2alna.

①當(dāng)，即時(shí)，無(wú)零點(diǎn).

②當(dāng)，即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)，即時(shí)，

因?yàn)?/span>>0，,且在上單調(diào)遞減，

所以在上存在唯一零點(diǎn)；

在上，，.

因?yàn)?/span>，所以，即.

又，且在上單調(diào)遞增，

所以在上存在唯一零點(diǎn)；

所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上：時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；

時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；

時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).