【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和Sn與an之間滿足an= （n≥2，n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{ }是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)存在正整數(shù)k，使（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）≥k 對于一切n∈N*都成立，求k的最大值．

【答案】
（1）證明：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與an之間滿足an= （n≥2，n∈N*），

∴Sn﹣Sn﹣1= ，化為： ﹣ =2．

∴數(shù)列{ }是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1


（2）解：由（1）可得： =1+2（n﹣1）=2n﹣1，可得Sn= ．

∴n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ．

∴an=


（3）解：∵1+Sn=1+ = ．

∴Tn=（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）= × ×…× ＞ × ×…× = ×…× ×（2n+1）

= ，

可得：Tn＞ ．

∴存在正整數(shù)k，使（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）≥k 對于一切n∈N*都成立，則k的最大值為1．


【解析】（1）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與an之間滿足an= （n≥2，n∈N*），可得Sn﹣Sn﹣1= ，化為： ﹣ =2．即可證明．（2）由（1）可得： =1+2（n﹣1）=2n﹣1，可得Sn= ．n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1；n=1時，a1=1．（3）1+Sn=1+ = ．可得Tn=（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）= × ×…× ＞ × ×…× = ×…× ×（2n+1）= ，可得：Tn＞ ．即可得出．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x，設(shè) ．
（1）求函數(shù)g（x）的表達(dá)式，并求函數(shù)g（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市一高中經(jīng)過層層上報，被國家教育部認(rèn)定為2015年全國青少年足球特色學(xué)校．該校成立了特色足球隊(duì)，隊(duì)員來自高中三個年級，人數(shù)為50人．視力對踢足球有一定的影響，因而對這50人的視力作一調(diào)查．測量這50人的視力（非矯正視力）后發(fā)現(xiàn)他們的視力全部介于4.75和5.35之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第一組[4.75，4.85），第二組[4.85，4.95），…，第6組[5.25，5.35]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．又知：該校所在的省中，全省喜愛足球的高中生視力統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省100000名喜愛足球的高中生的視力服從正態(tài)分布N（5.01，0.0064）． 參考數(shù)據(jù)：若ξ～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，
P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．
（1）試評估該校特色足球隊(duì)人員在全省喜愛足球的高中生中的平均視力狀況；
（2）求這50名隊(duì)員視力在5.15以上（含5.15）的人數(shù)；
（3）在這50名隊(duì)員視力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，該2人中視力排名（從高到低）在全省喜愛足球的高中生中前130名的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知每種產(chǎn)品各生產(chǎn)1噸所需原料及每天原料的可用限額如下表所示，如果生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品可獲利潤3萬元，生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品可獲利4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為萬元．

甲

乙

原料限額

A（噸）

3

2

12

B（噸）

1

2

8

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形．側(cè)棱長為5，平面ABCD⊥平面A1ACC1 ， AB=3 ，∠BAD=60°，點(diǎn)E是△ABD的重心，且A1E=4．
（1）求證：平面A1DC1∥平面AB1C；
（2）求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 = ．
（1）求 的值
（2）若cosB= ，b=2，求△ABC的面積S．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，實(shí)數(shù)a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）對于任意x∈[0，1]都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，1）
B.[﹣2，0]
C.（﹣2﹣2 ，﹣2+2 ）
D.[0，1]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x﹣2）2+y2=1，點(diǎn)P在直線l：x+y+1=0上，若過點(diǎn)P存在直線m與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A為PB中點(diǎn)，則點(diǎn)P的恒坐標(biāo)的取值范圍是

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=3，a2=5，其前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3，n∈N*）
（1）試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（2）令bn= ，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．證明：對任意給定的m∈（0， ），均存在n0∈N*，使得當(dāng)n≥n0時，Tn＞m恒成立．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案