Question

1．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，E為AA₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為BB₁的中點(diǎn)，面D₁EB與底面ABCD所成角為arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求面D₁FC與底面ABCD所成角的大��；
（2）求點(diǎn)B₁到面D₁EB的距離．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由面D₁EB與底面ABCD所成角為arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求出DD₁的長，由此能求出面D₁FC與底面ABCD所成角的平面角的大�。�
（2）求出面D₁EB的法向量和$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，$\sqrt{2}$），由此利用向量法能求出點(diǎn)B₁到面D₁EB的距離．

解答 解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)DD₁=2t（t＞0），則B（2，2，0），E（2，t，0），D₁（0，0，2t），F(xiàn)（2，2，t），C（0，2，0），
$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（2，t，-2t），$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（2，2，-2t），
D₁EB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=2x+ty-2tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}B}=2x+2y-2tz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\frac{1}{t}$），
又平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵面D₁EB與底面ABCD所成角為arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{\frac{1}{t}}{\sqrt{1+\frac{1}{{t}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（2，2，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{{D}_{1}C}$=（0，2，-$\sqrt{2}$），
設(shè)平面D₁FC的法向量為$\overrightarrow{p}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{{D}_{1}F}=2a+2b-\frac{\sqrt{2}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{{D}_{1}C}=2b-\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$，取c=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{p}$=（-$\frac{1}{2}$，1，$\sqrt{2}$），
設(shè)面D₁FC與底面ABCD所成角的平面角為θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{p}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+2}}$=$\frac{2\sqrt{26}}{13}$．
∴面D₁FC與底面ABCD所成角的大小為$\frac{2\sqrt{26}}{13}$．
（2）∵面D₁EB的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，$\sqrt{2}$），
∴點(diǎn)B₁到面D₁EB的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的大小的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．