Question

【題目】某景區(qū)欲建造同一水平面上的兩條圓形景觀步道、（寬度忽略不計(jì)），已知，（單位：米），要求圓與、分別相切于點(diǎn)、，與、分別相切于點(diǎn)、，且.

（1）若，求圓、圓的半徑（結(jié)果精確到米）；

（2）若景觀步道、的造價(jià)分別為每米千元、千元，如何設(shè)計(jì)圓、圓的大小，使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)為多少（結(jié)果精確到千元）？

Answer 1

【答案】（1）圓、圓的半徑分別為米、米；

（2）的半徑與圓的半徑分別為米與米時(shí)，總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為千元.

【解析】

（1）直接利用銳角三角函數(shù)的定義可計(jì)算出兩圓的半徑；

（2）設(shè)，可得，其中，然后得出總造價(jià)（千元）關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并利用基本不等式可求出的最小值，利用等號(hào)成立求出對(duì)應(yīng)的的值，即可計(jì)算出兩圓的半徑長(zhǎng).

（1）依題意，圓的半徑（米），

，

圓的半徑（米） ，

答：圓、圓的半徑分別為米、米；

（2）設(shè)，則，其中，

故景觀步道的總造價(jià)為.

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

當(dāng)時(shí)，，

答：設(shè)計(jì)圓的半徑與圓的半徑分別為米與米時(shí)，總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為（千元）.