Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是以O(shè)為中心的正方形，PO⊥底面ABCD，AB=2，M為BC的中點且PM⊥AP．
（1）證明：PM⊥平面PAD；
（2）求四棱錐P-ABMO的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出△PBC為等腰三角形，從而PM⊥BC，從而PM⊥AD，再由PM⊥AP，能證明PM⊥平面PAD．
（2）延長MO與AD交于E，并連接PE．求出PO=1，且PO⊥平面AMO，由此能求出四棱錐P-ABMO的體積．

解答 證明：（1）∵底面四邊形ABCD是以O(shè)為中心的正方形且PO⊥底面ABCD．
∴△PBC為等腰三角形，
又∵M(jìn)為BC 的中點，∴PM⊥BC，…（2分）
又∵AD∥BC，∴PM⊥AD，又∵PM⊥AP，
∴PM⊥平面PAD．
解：（2）如圖，延長MO與AD交于E，并連接PE．
∵O為正方形ABCD的中心，M為BC 的中點，
∴E為AD的中點，
∵底面四邊形ABCD是以O(shè)為中心的正方形且PO⊥底面ABCD，…（8分）
由（1）得△PME為等腰直角三角形，又∵AB=2，
∴PO=1，且PO⊥平面AMO，
∴四棱錐P-ABMO的體積：
V_P-ABMO=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABMO}•PO=$\frac{1}{3}•\frac{（1+2）•1}{2}•1=\frac{1}{2}$，
所以四棱錐P-ABMO的體積為$\frac{1}{2}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．