Question

1．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+12si{n}^{2}θ}$，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R）．
（Ⅰ）求直線l和曲線c的普通方程；
（Ⅱ）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+12si{n}^{2}θ}$，化為4（ρcosθ）²+12（ρsinθ）²=12，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐標(biāo)方程．由直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），消去參數(shù)t可得普通方程．
（II）設(shè)與直線x=2+y平行且與橢圓x²+3y²=3相切的直線方程為x=m+y．把x=m+y代入曲線方程：x²+3y²=3．可得：4y²+2my+m²-3=0，
令△=0，解得m，再利用平行線直角的距離公式即可得出．

解答 解：（I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{12}{4co{s}^{2}θ+12si{n}^{2}θ}$，化為4（ρcosθ）²+12（ρsinθ）²=12，
∴直角坐標(biāo)方程為：x²+3y²=3．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），消去參數(shù)t可得：x=2+y．
（II）設(shè)與直線x=2+y平行且與橢圓x²+3y²=3相切的直線方程為x=m+y．
把x=m+y代入曲線方程：x²+3y²=3．可得：4y²+2my+m²-3=0，
令△=4m²+16（m²-3）=0，化為m²=$\frac{12}{5}$．
解得m=±$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．
取切線y=x+$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．
與直線y=x-2的距離d=$\frac{|\frac{2\sqrt{15}}{5}+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{30}+5\sqrt{2}}{5}$，即為曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程化為普通方程、直線與橢圓相切問(wèn)題、平行線直角的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．