Question

16．已知$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（2-m，1-m）．
（1）若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若∠BAC為鈍角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若△ABC為直角三角形，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）利用A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件，列出方程即可求實(shí)數(shù)m的值；
（2）利用∠ABC為鈍角，通過(guò)向量的數(shù)量積的范圍，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）討論△ABC為直角三角形時(shí)，是A為直角？B為直角？C為直角？求出對(duì)應(yīng)m的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（2-m，1-m）．A，B，C三點(diǎn)共線，
∴4-2m=1-m，∴實(shí)數(shù)m=3時(shí)，滿足的條件  …（3分）
（2）由題設(shè)知，∵∠BAC為鈍角，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2-m+2-2m=4-3m＜0…（5分）解得m$＞\frac{4}{3}$
又由（1）可知，當(dāng)m=3時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線．
故m∈（$\frac{4}{3}$，3）∪（3，+∞）…（8分）
（2）$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（2-m，1-m）．
∵△ABC為直角三角形，
∴當(dāng)A是直角時(shí)，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2-m+2-2m=4-3m=0，
解得m=$\frac{4}{3}$；
當(dāng)B是直角時(shí)，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$-\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}）$=（-1，-2）•[（-1，-2）+（2-m，1-m）]=-1+m+2+2m=0，
解得m=-$\frac{1}{3}$；
當(dāng)C是直角時(shí)，
$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=（2-m，1-m）•[（2-m，1-m）-（1，2）]
=1-3m=0，解得m=$\frac{1}{3}$
綜上，m的值為-$\frac{1}{3}$或$\frac{4}{3}$或$\frac{1}{3}$．…（13分）．

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查向量的表示方法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，解題時(shí)應(yīng)用分類討論的思想，考查計(jì)算能力．