Question

已知△ABC中，|AC|=|BC|=2，∠ACB=90°，M為BC的中點(diǎn)，D為以AC為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，E為直徑AC上的動(dòng)點(diǎn)，則

AM

•

AE

-

AM

•

DE

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：建立坐標(biāo)系，明確A，M，D的坐標(biāo)，以及向量

AM

，

AD

的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積得到關(guān)于α的解析式求范圍．

解答： 解：由題意，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），M（1，-1），設(shè)D（cosα，sinα）．
∴

AM

=（2，-1），

AD

=（cosα+1，sinα）．
∴

AM

•

AE

-

AM

•

DE

=

AM

•

AD

=2cosα+2-sinα=2+

5

sin（θ-α），其中tanθ=2．
∵sin（θ-α）∈[-1，1]，
∴2+

5

sin（θ-α）∈[2-

5

，2+

5

]，
∴

AM

•

AE

-

AM

•

DE

的取值范圍是[2-

5

，2+

5

]．
故答案為：[2-

5

，2+

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)用，涉及三角函數(shù)的值域，關(guān)鍵是建系通過向量的數(shù)量積得到關(guān)于α的三角函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的有界性解決問題，屬中檔題．