Question

己知函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+2ax2-3a2x(a∈R且a≠0)．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，求曲線y=f（x）在（-2，m）處的切線方程：
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[2a，2a+2]時，不等式|f′（x）|≤3a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出切點坐標(biāo)，切線斜率，可得曲線y=f（x）在（-2，m）處的切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的極值；
（Ⅲ）求出f′（x）在區(qū)間[2a，2a+2]上的最大值與最小值，利用當(dāng)x∈[2a，2a+2]時，不等式|f′（x）|≤3a恒成立，可得

a2≤3a a2-4≥-3a

，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，∵函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+2ax2-3a2x(a∈R且a≠0)，
∴f′（x）=-x²-4x-3，
∴f′（2）=1，m=f（2）=

2

3

，
∴曲線y=f（x）在（-2，m）處的切線方程：y-

2

3

=x-2，即3x-3y+8=0；
（Ⅱ）f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-a）（x-3a），
當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0，得a＜x＜3a；由f′（x）＜0，得x＜a或x＞3a，
∴y=f（x）的增區(qū)間為（a，3a），減區(qū)間為（-∞，a）和（3a，+∞），
∴x=3a時，函數(shù)的極大值為0，x=a時，極小值為-

4

3

a3；
（Ⅲ）f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-2a）²+a²，
∵f′（x）在區(qū)間[2a，2a+2]上單調(diào)遞減，
∴x=2a時，f′（x）_max=a²，x=2a+2時，f′（x）_min=a²-4，
∵x∈[2a，2a+2]時，不等式|f′（x）|≤3a恒成立，
∴

a2≤3a a2-4≥-3a

，
∴1≤a≤3，
∴a的取值范圍為[1，3]．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)是幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．