Question

如圖，設(shè)P是圓O：x²+y²=2上的點(diǎn)，過P作直線l垂直x軸于點(diǎn)Q，M為l上一點(diǎn)，且

PQ

=

2

MQ

，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線Γ．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）某同學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：若把三角板的直角頂點(diǎn)放置在圓O的圓周上，使其一條直角邊過點(diǎn)F（1，0），則三角板的另一條直角邊所在直線與曲線Γ有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．你認(rèn)為該同學(xué)的結(jié)論是否正確？若正確，請(qǐng)證明；若不正確，說明理由．
（Ⅲ）設(shè)直線m是圓O所在平面內(nèi)的一條直線，過點(diǎn)F（1，0）作直線m的垂線，垂足為T連接OT根據(jù)“線段OT長(zhǎng)度”討論“直線m與曲線Γ的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)”．（直接寫出結(jié)論，不必證明）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)及P的坐標(biāo)，結(jié)合

PQ

=

2

MQ

把P的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，然后把P的坐標(biāo)代入圓O可得曲線Γ的方程；
（Ⅱ）把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，分直角三角板的頂點(diǎn)在x軸上，與F點(diǎn)的連線垂直于x軸以及NF的斜率存在且不等于0幾種情況討論，斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程，和曲線Γ聯(lián)立由判別式等于0說明結(jié)論正確；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中同學(xué)研究的結(jié)論可知，當(dāng)|0T|=

2

時(shí)，直線m與橢圓Γ有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；由此推廣得到，當(dāng)|OT|＞

2

時(shí)，直線m與橢圓Γ沒有公共點(diǎn)；當(dāng)|OT|＜

2

時(shí)，直線m與橢圓Γ有兩個(gè)公共點(diǎn)．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），P（x_P，y_P），
∵PQ垂直x軸于點(diǎn)Q，M為直線l上一點(diǎn)，且

PQ

=

2

MQ

，
∴x_P=x，yP=

2

y，
∵點(diǎn)P在圓O：x²+y²=2上，
∴xP2+yP2=2，
即x2+(

2

y)2=2，整理得

x2

2

+y2=1．
故曲線Γ的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）如圖，

設(shè)三角板的直角頂點(diǎn)放置在圓O的圓周上的點(diǎn)N（a，b）處，則a²+b²=2，
又設(shè)三角板的另一條直角邊所在直線為l′．
（�。┊�(dāng)a=1時(shí)，直線NF⊥x軸，l′：y=±1，
顯然l′與曲線Γ有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（ⅱ）當(dāng)a≠1時(shí)，則kNF=

b

a-1

．
若b=0時(shí)，則直線l′：x=±

2

，顯然l′與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
若b≠0時(shí)，則直線l′的斜率k=

1-a

b

，
∴l′：y-b=

1-a

b

(x-a)，即y=

1-a

b

x+

2-a

b

，
由

x2 2 +y2=1 y= 1-a b x+ 2-a b

，得[b²+2（1-a）²]x²+4（1-a）（2-a）x+2[（2-a）²-b²]=0 （*）
又b²=2-a²，
∴方程（*）可化為（a-2）²x²+4（1-a）（2-a）x+4（a-1）²=0，
∴△=[4（1-a）（2-a）]²-16（a-2）²（a-1）²=0，
∴直線l′與曲線Γ有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
綜上述，該同學(xué)的結(jié)論正確．
（Ⅲ）當(dāng)|OT|＞

2

時(shí)，直線m與橢圓Γ沒有公共點(diǎn)；
當(dāng)|0T|=

2

時(shí)，直線m與橢圓Γ有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)|OT|＜

2

時(shí)，直線m與橢圓Γ有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的方程與性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等，是壓軸題．