Question

如圖，設(shè)P是圓O：x²+y²=2上的點，過P作直線l垂直x軸于點Q，M為l上一點，且

PQ

=

2

MQ

，當(dāng)點P在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線Γ．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）某同學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：若把三角板的直角頂點放置在圓O的圓周上，使其一條直角邊過點F（1，0），則三角板的另一條直角邊所在直線與曲線Γ有且只有一個公共點．你認為該同學(xué)的結(jié)論是否正確？若正確，請證明；若不正確，說明理由．
（Ⅲ）設(shè)直線m是圓O所在平面內(nèi)的一條直線，過點F（1，0）作直線m的垂線，垂足為T連接OT根據(jù)“線段OT長度”討論“直線m與曲線Γ的公共點個數(shù)”．（直接寫出結(jié)論，不必證明）

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出動點M的坐標及P的坐標，結(jié)合

PQ

=

2

MQ

把P的坐標用M的坐標表示，然后把P的坐標代入圓O可得曲線Γ的方程；
（Ⅱ）把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，分直角三角板的頂點在x軸上，與F點的連線垂直于x軸以及NF的斜率存在且不等于0幾種情況討論，斜率存在時設(shè)出直線方程，和曲線Γ聯(lián)立由判別式等于0說明結(jié)論正確；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中同學(xué)研究的結(jié)論可知，當(dāng)|0T|=

2

時，直線m與橢圓Γ有且只有一個公共點；由此推廣得到，當(dāng)|OT|＞

2

時，直線m與橢圓Γ沒有公共點；當(dāng)|OT|＜

2

時，直線m與橢圓Γ有兩個公共點．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），P（x_P，y_P），
∵PQ垂直x軸于點Q，M為直線l上一點，且

PQ

=

2

MQ

，
∴x_P=x，yP=

2

y，
∵點P在圓O：x²+y²=2上，
∴xP2+yP2=2，
即x2+(

2

y)2=2，整理得

x2

2

+y2=1．
故曲線Γ的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）如圖，

設(shè)三角板的直角頂點放置在圓O的圓周上的點N（a，b）處，則a²+b²=2，
又設(shè)三角板的另一條直角邊所在直線為l′．
（ⅰ）當(dāng)a=1時，直線NF⊥x軸，l′：y=±1，
顯然l′與曲線Γ有且只有一個公共點．
（ⅱ）當(dāng)a≠1時，則kNF=

b

a-1

．
若b=0時，則直線l′：x=±

2

，顯然l′與曲線有且只有一個公共點；
若b≠0時，則直線l′的斜率k=

1-a

b

，
∴l′：y-b=

1-a

b

(x-a)，即y=

1-a

b

x+

2-a

b

，
由

x2 2 +y2=1 y= 1-a b x+ 2-a b

，得[b²+2（1-a）²]x²+4（1-a）（2-a）x+2[（2-a）²-b²]=0 （*）
又b²=2-a²，
∴方程（*）可化為（a-2）²x²+4（1-a）（2-a）x+4（a-1）²=0，
∴△=[4（1-a）（2-a）]²-16（a-2）²（a-1）²=0，
∴直線l′與曲線Γ有且只有一個公共點．
綜上述，該同學(xué)的結(jié)論正確．
（Ⅲ）當(dāng)|OT|＞

2

時，直線m與橢圓Γ沒有公共點；
當(dāng)|0T|=

2

時，直線m與橢圓Γ有且只有一個公共點；
當(dāng)|OT|＜

2

時，直線m與橢圓Γ有兩個公共點．

點評：本題主要考查圓的方程與性質(zhì)、橢圓的標準方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等，是壓軸題．