Question

11．若不等式$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$+$\frac{λ}{z-x}$≥0對(duì)x＞y＞z恒成立，則λ的取值范圍是（-∞，4]．

Answer 1

分析 由題意得到$\frac{（x-z）^{2}}{（x-y）（y-z）}$≥λ，巧設(shè)x-y=a，y-z=b，利用基本不等式即可求出λ的范圍．

解答 解：∵$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$+$\frac{λ}{z-x}$≥0，
∴$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$≥-$\frac{λ}{z-x}$，
∵x＞y＞z，
∴$\frac{z-x}{x-y}$+$\frac{z-x}{y-z}$≤-λ，
∴$\frac{（x-z）（z-x）}{（x-y）（y-z）}$≤-λ，
∴$\frac{（x-z）^{2}}{（x-y）（y-z）}$≥λ，
此時(shí)令x-y=a，y-z=b，
上式就變成了$\frac{（a+b）^{2}}{ab}$≥λ，
∵a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴（a+b）²≥4ab，
∴λ≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b（即x-y=y-z）時(shí)成立，
∴λ的取值范圍是（-∞，4]，
故答案為：（-∞，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是令x-y=a，y-z=b，屬于中檔題．