Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求的值；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）當時， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，有f（0）=0，可求出b值，再由

f（1）=﹣f（﹣1），可求出a值.（2）用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，需按取值、作差、判斷符號、下結(jié)論等步驟進行.

(3)由f（x）是R上的奇函數(shù)且f（kx2）+f（2x﹣1）＞0，可得f（kx2）＞f（1-2x）, 又由f（x）在R上單調(diào)遞減，有kx2＜1-2x.原問題等價于對任意都有kx2＜1﹣2x成立，采用分離常數(shù)法將不等式轉(zhuǎn)化為k＜，則需k＜即可，最終問題轉(zhuǎn)化為求g（x）=在的最小值問題.

試題解析：

（1）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，解得b=1，

f（x）= ，又由f（1）=﹣f（﹣1），解得a=2．

（2）證明：由（1）可得：f（x）=．

x1＜x2 ， ∴ ，

則f（x1）﹣f（x2）=,

∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）在R上是減函數(shù)．

（3）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

∴f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，等價于f（kx2）＞﹣f（2x﹣1）=f（1﹣2x）成立，

∵f（x）在R上是減函數(shù)，∴kx2＜1﹣2x，

∴對于任意都有kx2＜1﹣2x成立，

∴對于任意都有k＜，

設g（x）=，

∴g（x）=，

令t= ，t∈[，2]，

則有，∴g（x）min=g（t）min=g（1）=﹣1

∴k＜﹣1，即k的取值范圍為（﹣∞，﹣1）