Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d是定義在R上的函數(shù)，其圖象交x軸于A、B、C三點(diǎn)，若點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同單調(diào)性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性．
（1）求c的值；
（2）求|AC|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間判斷出x=0是函數(shù)的極值點(diǎn)，利用函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，列出方程求出c的值．
（2）由已知中f（x）=ax³+bx²+cx+d是定義在R上的函數(shù)，其圖象與X軸交于A，B，C三點(diǎn)，由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調(diào)性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性．利用函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，可得c=0，進(jìn)而可設(shè)A（α，0），C（β，0），根據(jù)韋達(dá)定理可求出α，β與a，b，c，d的關(guān)系式，將x=2代入后再利用韋達(dá)定理求出A，C的距離，求出|AC|的最值，進(jìn)而得到|AC|的取值范圍．

解答： 解：（1）由條件可知f（x）在區(qū)間[-1，0]和[0，2]上有相反的單調(diào)性，
∴x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax²+2bx+c，
故c=0．
（2）令f′（x）=0，則3ax²+2bx=0，
解得  x₁=0，x₂=-

2b

3a

．
又f（x）在區(qū)間[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性，
得2≤-

2b

3a

≤4，解得-6≤

b

a

≤-3．
又由題意，（3）設(shè)A（α，0），C（β，0），
則由題意可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x³-（2+α+β）x²+（2α+2β+αβ）x-2αβ]…（2分）
則

b=-a(2+α+β) d=-2aαβ

，解得 α+β=-

b

a

=-2，αβ=-

d

2a

，
又∵函數(shù)f（x）的圖象交x軸于B（2，0），
∴f（2）=0即8a+4b+d=0
∴d=-4（b+2a），αβ=4+

2b

a

，
從而|AC|=|α-β|=

(α+β)2-4αβ

=

( b a -2)2-16

，
∵-6≤

b

a

≤-3，
∴當(dāng)

b

a

=-6時(shí)，|AC|_max=4

3

；當(dāng)

b

a

=-3時(shí)，|AC|_min=3．
∴3≤|AC|≤4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查極值點(diǎn)處的函數(shù)值為0，極值點(diǎn)左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)相反；解決二次方程的根的問(wèn)題常用到韋達(dá)定理．