Question

（1）解不等式組

3x2+x-2≥0 4x2-15x+9＞0

．
（2）設(shè)a≠b，解關(guān)于x的不等式a²x+b²（1-x）≥[ax+b（1-x）]²．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分別求解兩個(gè)一元二次不等式，最后取兩個(gè)解集的交集，即可得到不等式組的解集；
（2）將不等式組進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，變形為（a-b）²（x²-x）≤0，根據(jù)a≠b，可以將不等式等價(jià)為x²-x≤0，求解即可得到不等式的解集．

解答： 解：（1）不等式組

3x2+x-2≥0 4x2-15x+9＞0

可變形為

(x+1)(3x-2)≥0 (x-3)(4x-3)＞0

，
即

x≤-1或x≥ 2 3 x＜ 3 4 或x＞3

，
解得x≤-1或

2

3

≤x＜

3

4

或x＞3，
∴不等式組

3x2+x-2≥0 4x2-15x+9＞0

的解集為{x|x＞3或

2

3

≤x＜

3

4

或x≤-1}；
（2）∵不等式a²x+b²（1-x）≥[ax+b（1-x）]²，
∴將原不等式變形為（a²-b²）x+b²≥（a-b）²x²+2（a-b）bx+b²，
整理可得，（a-b）²（x²-x）≤0，
又∵a≠b，
∴（a-b）²＞0，
∴x²-x≤0，
解得0≤x≤1，
∴不等式a²x+b²（1-x）≥[ax+b（1-x）]²的解集為{x|0≤x≤1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式組的解法，以及含有參數(shù)的不等式的解法．要求解一元二次不等式時(shí)，要注意與一元二次方程的聯(lián)系，以及與二次函數(shù)之間的關(guān)系．求解不步驟是：判斷最高次系數(shù)的正負(fù)，將負(fù)值轉(zhuǎn)化為正值，確定一元二次方程的根的情況，利用二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集．對(duì)于含有參數(shù)的一元二次不等式的解法要注意討論根的大�。畬儆谥袡n題．