Question

已知圓C：x²+y²-x-8y+m=0，點R是直線y=x上一動點，
（1）若圓C與直線y=x相離，過動點R作圓C的切線，求切線長的最小值的平方f（m）；
（2）若圓C與直線x+2y-6=0相交于P、Q兩點，R（1，1）且PR⊥QR，求m的值．

Answer 1

考點：圓的切線方程,圓的一般方程

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）由圓C方程算出圓心為C（

1

2

，4）、半徑r=

65 4 -m

．根據(jù)題意，當(dāng)動點R與點C直線y=x上的射影重合時切線長達(dá)到最小值，由此結(jié)合點到直線的距離公式與勾股定理加以計算，可得切線長的最小值的平方f（m）；
（2）利用PQ的中垂線方程與PQ方程聯(lián)解，得到PQ的中點為M（0，3）．由PR⊥QR得|MP|=|MQ|=|MR|=

5

，算出|CM|=

5

2

并結(jié)合r²=|MQ|²+|CM|²建立關(guān)于m的等式，解之即可得到實數(shù)m的值．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²-x-8y+m=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x-

1

2

）²+（y-4）²=

65

4

-m．
∴圓心為C（

1

2

，4），半徑r=

65 4 -m

，
又∵圓C與直線y=x相離，∴點C到直線y=x的距離大于半徑r，
即d=

| 1 2 -4|

2

＞

65 4 -m

，即

7 2

4

＞

65 4 -m

，解得

81

8

＜m＜

65

4

．
根據(jù)圓切線的性質(zhì)，可得當(dāng)動點R與點C直線y=x上的射影重合時，
切線長達(dá)到最小值，
此時切線長l=

d2-r2

=

( 7 2 4 )2-( 65 4 -m)

=

m- 81 8

，
∴切線長的最小值的平方f（m）=m-

81

8

，其中

81

8

＜m＜

65

4

；
（2）∵圓的方程為(x-

1

2

)2+(y-4)2=

65

4

-m，圓心C（

1

2

，4），
∴過C作直線PQ垂線為：2x-y+3=0，
與x+2y-6=0聯(lián)解，可得PQ的中點為M（0，3），
又∵PR⊥QR，
∴|MP|=|MQ|=|MR|=

(1-0)2+(1-3)2

=

5

，
∵|CM|=

( 1 2 -0)2+(4-3)2

=

5

2

，r²=|MQ|²+|CM|²，
∴

65

4

-m=5+

15

4

，解之得m=10．

點評：本題給出含有參數(shù)m的圓方程，在指定的條件下求m的值．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．