Question

【題目】設常數a≥0，函數f（x）= ．
（1）若a=4，求函數y=f（x）的反函數y=f﹣1（x）；
（2）根據a的不同取值，討論函數y=f（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=4，

∴

∴ ，

∴ ，

∴調換x，y的位置可得 ，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．

（2）解：若f（x）為偶函數，則f（x）=f（﹣x）對任意x均成立，

∴ = ，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．

∵2x﹣2﹣x不恒為0，

∴a=0，此時f（x）=1，x∈R，滿足條件；

若f（x）為奇函數，則f（x）=﹣f（﹣x）對任意x均成立，

∴ =﹣ ，整理可得a2﹣1=0，

∴a=±1，

∵a≥0，

∴a=1，

此時f（x）= ，滿足條件；

當a＞0且a≠1時，f（x）為非奇非偶函數

綜上所述，a=0時，f（x）是偶函數，a=1時，f（x）是奇函數．當a＞0且a≠1時，f（x）為非奇非偶函數

【解析】（1）根據反函數的定義，即可求出，（2）利用分類討論的思想，若為偶函數求出a的值，若為奇函數，求出a的值，問題得以解決．
【考點精析】利用函數的奇偶性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．