Question

15．已知圓C通過不同的三點P（m，0）、Q（2，0）、R（0，1），且圓C在點P處的切線的斜率為1．
（1）求圓C的方程； 
（2）已知點A、B是圓C上的兩點，直線PR與直線AB平行，且這兩平行線間的距離$\frac{\sqrt{10}}{2}$，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，根據(jù)圓C通過不同的三點P（m，0）、Q（2，0）、R（0，1），PC的斜率為-1，求出D，E，F(xiàn)，即可求圓C的方程；
（2）求出直線PR的方程，設(shè)直線AB的方程為x-3y+c=0，則兩平行線間的距離$\frac{|c-3|}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，求出c，利用圓心到直線的距離d=$\frac{|-\frac{1}{2}+\frac{15}{2}+c|}{\sqrt{10}}$＜$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，可得直線AB的方程．

解答 解：（1）設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
則C點的坐標(biāo)為（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），且PC的斜率為-1，
因為圓C通過不同的三點P（m，0）、Q（2，0）、R（0，1）
所以有$\left\{\begin{array}{l}{1+E+F=0}\\{4+2D+F=0}\\{-\frac{D}{2}=\frac{2+m}{2}}\\{\frac{-\frac{E}{2}-0}{-\frac{D}{2}-m}=-1}\end{array}\right.$解之得D=1，E=5，F(xiàn)=-6，m=-3．
所以圓C的方程為x²+y²+x+5y-6=0；
（2）直線PR的方程為$\frac{x}{-3}+\frac{y}{1}=1$，即x-3y+3=0，
設(shè)直線AB的方程為x-3y+c=0，則兩平行線間的距離$\frac{|c-3|}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴c=8或-2，
又圓心到直線的距離d=$\frac{|-\frac{1}{2}+\frac{15}{2}+c|}{\sqrt{10}}$＜$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴c=-2，
∴直線AB的方程為x-3y-2=0．

點評 本題考查圓的一般方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．