Question

已知橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1），圓O：x²+y²=a²，過原點(diǎn)的射線與橢圓C和圓O分別交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|的最大值是1．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）過圓O上動點(diǎn)Q作橢圓的兩切線，斜率分別為k₁，k₂，問：是否存在點(diǎn)Q，使k₁+2k₂=0，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由于過原點(diǎn)的射線與橢圓C和圓O分別交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|的最大值是1．可得|MN|≤a-b，b=1，即可得出．
（II ）由（I）可知橢圓的方程為：

x2

4

+y2=1．假設(shè)存在Q（2cosθ，2sinθ）（θ∈[0，2π）），使k₁+2k₂=0．設(shè)切線的方程為y-2sinθ=k（x-2cosθ），與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+4k²）x²+16k（sinθ-kcosθ）x+16（sinθ-kcosθ）²-4=0．由于直線與圓相切，可得△=0．即（4+4cos²θ）k²-8ksinθcosθ+1+4sin²θ=0．于是k₁+k₂=

8sinθcosθ

4+4cos2θ

，k₁k₂=

1+4sin2θ

4+4cos2θ

．又k₁+2k₂=0，可得k₁=-2k₂，因此k₁與k₂異號，與k₁k₂=

1+4sin2θ

4+4cos2θ

矛盾．因此得出．

解答： 解：（I）∵過原點(diǎn)的射線與橢圓C和圓O分別交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|的最大值是1．
可得|MN|≤a-b，b=1，
∴a-1=1，
∴a=2．
（II）由（I）可知橢圓的方程為：

x2

4

+y2=1．
假設(shè)存在Q（2cosθ，2sinθ）（θ∈[0，2π）），使k₁+2k₂=0．
設(shè)切線的方程為y-2sinθ=k（x-2cosθ），
聯(lián)立

y=kx+2sinθ-2kcosθ x2+4y2=4

，化為（1+4k²）x²+16k（sinθ-kcosθ）x+16（sinθ-kcosθ）²-4=0．
∵直線與圓相切，∴△=0．
化為：（4+4cos²θ）k²-8ksinθcosθ+1+4sin²θ=0．
∴k₁+k₂=

8sinθcosθ

4+4cos2θ

，k₁k₂=

1+4sin2θ

4+4cos2θ

．
又k₁+2k₂=0，可得k₁=-2k₂，因此k₁與k₂異號，與k₁k₂=

1+4sin2θ

4+4cos2θ

矛盾．
因此假設(shè)不成立．
故不存在Q（2cosθ，2sinθ）（θ∈[0，2π）），使k₁+2k₂=0．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、橢圓的切線與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．