Question

（文科）已知?jiǎng)訄AP與圓F₁：x²+（y+2）²=

121

4

內(nèi)切，與圓F₂：x²+（y-2）²=

1

4

外切，記動(dòng)圓圓心點(diǎn)P的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）若直線l過(guò)點(diǎn)F₂且與軌跡E相交于P、Q兩點(diǎn)．
（i）若△F₁PQ的內(nèi)切圓半徑r=

10

9

，求△F₁PQ的面積；
（ii）設(shè)點(diǎn)M（0，m），問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得直線l繞點(diǎn)F₂無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有

MP

•

MQ

=0成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）據(jù)兩圓外切和內(nèi)切的判定，圓心距與兩圓半徑和差的關(guān)系，設(shè)出動(dòng)圓半徑為r，消去r，根據(jù)圓錐曲線的定義，即可求得動(dòng)圓圓心M的軌跡，進(jìn)而可求其方程．
（Ⅱ）（i）由△F₁PQ的周長(zhǎng)為C=4a，內(nèi)切圓半徑r=

10

9

，根據(jù)△F₁PQ的面積S=

1

2

Cr可得答案；
（ii）分當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，M，P，Q三點(diǎn)共線，和直線l的斜率為0時(shí)，△MPQ為等腰直角三角形，可得不存在實(shí)數(shù)m，使得直線l繞點(diǎn)F₂無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有

MP

•

MQ

=0成立．

解答： 解：（I）設(shè)動(dòng)圓圓心P（x，y），半徑為r，
∵動(dòng)圓P與圓F₁：x²+（y+2）²=

121

4

內(nèi)切，與圓F₂：x²+（y-2）²=

1

4

外切，
∴|PF₁|=

11

2

-r，|PF₂|=

1

2

+r，
∴|PF₂|+|PF₁|=6＞4，
∴點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，
此時(shí)2a=6，2c=4，
即a=3，c=2，b²=5，
∴動(dòng)圓圓心P的軌跡方程E是：

y2

9

+

x2

5

=1；
（II）（i）∵△F₁PQ的周長(zhǎng)為C=4a=12，△F₁PQ的內(nèi)切圓半徑r=

10

9

，
∴△F₁PQ的面積S=

1

2

Cr=

1

2

×12×

10

9

=

20

3

；
（ii）假設(shè)存在點(diǎn)M（0，m），使得無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有

MP

•

MQ

=0成立
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），（0，-3），
此時(shí)M，P，Q三點(diǎn)共線，
若

MP

•

MQ

=0則

MP

=0或

MQ

=0，即m=-3，或m=3，
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（

5

3

，2），（-

5

3

，2），
此時(shí)若

MP

•

MQ

=0，則△MPQ為等腰直角三角形，則m=

1

2

，或m=

11

2

，
均不存在實(shí)數(shù)m，使得直線l繞點(diǎn)F₂無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有

MP

•

MQ

=0成立．

點(diǎn)評(píng)：考查兩圓的位置關(guān)系及判定方法和雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，特別注意是軌跡是雙曲線的一支還是雙支，這是學(xué)生在解題中最易忽視的地方，屬中檔題．