Question

已知（1+ax）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N^*）．
（1）若a=-1，n=2012，求

2012

i=0

（-1）ⁱa_i的值；
（2）當a=1時，
（i）若n=8，求a₀，a₁，a₂，…，a₈中奇數(shù)的個數(shù)；
（ii）若其奇數(shù)項的和為A，偶數(shù)項的和為B，求證：A²-B²=（1-x²）ⁿ；
（iii）若n≥3，a₁，a₂，a₃，a₄為展開式中四個連續(xù)的項的系數(shù)，求證：

a1

a1+a2

+

a3

a3+a4

=

2a2

a2+a3

．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質

專題：綜合題,二項式定理

分析：（1）當a=-1，n=2012時，可求得a₀=

C

0 2012

，a₁=-

C

1 2012

，a₂=

C

2 2012

，a₃=-

C

3 2012

，…，a₂₀₁₂=

C

2012 2012

，從而可得

2012

i=0

（-1）ⁱa_i的值；
（2）當a=1時，（i）若n=8，可求得a₀=

C

0 8

=1，a₁=

C

1 8

=8，a₂=

C

2 8

=28，…，a₈=

C

8 8

=1，從而可得答案；
（ii）依題意知，A+B為所有項的和，A-B是奇數(shù)項與偶數(shù)項和的差，從而可證得結論成立；
（iii）設a₁=

C

k n

，那么a₂=

C

k+1 n

，a₃=

C

k+2 n

，a₄=

C

k+3 n

，利用組合數(shù)公式可求得

a1

a1+a2

=

C k n

C k n + C k+1 n

=

n! k!(n-k)!

n! k!(n-k)! + n! (k+1)!(n-k-1)!

=

1

1+ n-k k+1

=

k+1

n+1

，同理可得，

a2

a2+a3

=

k+2

n+1

，

a3

a3+a4

=

k+3

n+1

，從而可證的結論成立．

解答： （1）解：∵當a=-1，n=2012，
∴（1-x）²⁰¹²=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²，
∴a₀=

C

0 2012

，a₁=-

C

1 2012

，a₂=

C

2 2012

，a₃=-

C

3 2012

，…，a₂₀₁₂=

C

2012 2012

，
∴

2012

i=0

（-1）ⁱa_i=

C

0 2012

+

C

1 2012

+

C

2 2012

+…+

C

2012 2012

=（1+1）²⁰¹²=2²⁰¹²．
（2）當a=1時，
（i）解：若n=8，則a₀=

C

0 8

=1，a₁=

C

1 8

=8，a₂=

C

2 8

=28，…，a₈=

C

8 8

=1，
∴a₀，a₁，a₂，…，a₈中奇數(shù)的個數(shù)只有a₀與

C

8 8

兩個；
（ii）證明：∵其奇數(shù)項的和為A，偶數(shù)項的和為B，
∴A²-B²=（A+B）（A-B），
而A+B為所有項的和，即（1+x）ⁿ，
A-B是奇數(shù)項與偶數(shù)項和的差，由于展開式是奇偶相間的，那么令x=-1即可得到，所以A-B=（1-x）ⁿ，
∴A²-B²=（1+x）ⁿ•（1-x）ⁿ=（1-x²）ⁿ．得證．
（iii）證明：設a₁=

C

k n

，那么a₂=

C

k+1 n

，a₃=

C

k+2 n

，a₄=

C

k+3 n

，

a1

a1+a2

=

C k n

C k n + C k+1 n

=

n! k!(n-k)!

n! k!(n-k)! + n! (k+1)!(n-k-1)!

=

1

1+ n-k k+1

=

k+1

n+1

，
同理可得，

a2

a2+a3

=

k+2

n+1

，

a3

a3+a4

=

k+3

n+1

，

a1

a1+a2

+

a3

a3+a4

=

k+1

n+1

+

k+3

n+1

=

2k+4

n+1

=

2(k+2)

n+1

=

2a2

a2+a3

（證畢）．

點評：本題考查二項式系數(shù)的性質，著重考查二項式定理的綜合應用，突出考查等價轉化思想、抽象思維、邏輯思維、綜合運算能力，屬于難題．