Question

4．實數(shù)x，y=$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，則z=$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{3}，\frac{10}{3}$]
• B． [$\frac{1}{3}，\frac{5}{2}$]
• C． [2，$\frac{5}{2}$]
• D． [2，$\frac{10}{3}$]

Answer 1

分析 設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則z=k+$\frac{1}{k}$，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，求出k的取值范圍即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則z=k+$\frac{1}{k}$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則k的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到原點的斜率，
由圖象知OA的斜率最大，OB的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），則OA的斜率k=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（3，1），則OB的斜率k=$\frac{1}{3}$，
則$\frac{1}{3}$≤k≤2，
∴z=k+$\frac{1}{k}$≥2$\sqrt{k•\frac{1}{k}}$=2，
當k=$\frac{1}{3}$時，z=$\frac{1}{3}$+3=$\frac{10}{3}$，
當k=2時，z=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
則z的最大值為$\frac{10}{3}$，
則2≤z≤$\frac{10}{3}$，
即z的取值范圍是[2，$\frac{10}{3}$]，
故選：D．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃以及直線斜率的求解，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．